Prezentarea modelului Black Scholes
Tehnicile moderne de stabilire a preturilor unei optiuni sunt adesea considerate
printre cele mai complexe din punct de vedere matematic din toate domeniile
financiare aplicate. Analistii financiari au atins punctul in care sunt in
masura sa calculeze, cu o precizie alarmanta, valoarea unui activ. Cele mai
multe dintre modele si tehnicile folosite de analistii de astazi sunt
inradacinate intr-un model dezvoltat de Fischer Black si Myron Scholes in 1973.
Ideea de optiuni nu este, cu siguranta, noua. Optiunile au existat-cel putin
conceptual-inca din antichitate.
Optiunile sunt
in general definite ca un contract intre doua parti, in care o
parte are dreptul dar nu si obligatia de a intreprinde o actiune prestabilita,
de obicei, sa cumpere sau sa vanda un activ suport. Optiunile pot fi, de
asemenea, asociate cu obligatiunile (de exemplu, obligatiuni convertibile).
Modelul Black Scholes nu a aparut peste noapte, de fapt, Fisher Black a inceput
sa lucreze pentru a crea un model de evaluare a warrant-ului. Acest lucru
implica calcularea unui derivat pentru a masura modul in care rata de
actualizare a unui warrant variaza in functie de timpul si pretul unei actiuni.
Rezultatul acestui calcul seamana izbitor cu o bine-cunoscuta ecuatie de
transfer de caldura. La scurt timp dupa aceasta descoperire, Myron Scholes s-a
alaturat lui Black si rezultatul muncii lor este un model uimitor de precis de
stabilire a preturilor optiunilor. Black si Scholes nu pot sa ia tot creditul
pentru munca lor, de fapt, modelul lor este de fapt o versiune imbunatatita a
unui model mai vechi dezvoltat de A. James Boness in teza sa de doctorat de la
Universitatea din Chicago. Imbunatatirile aduse de Black si Scholes "pe modelul
Boness au venit sub forma unei dovezi ca rata dobanzii fara risc este
factorul-discount corect, precum si absenta unor ipoteze in ceea ce priveste
preferintele de risc ale investitorului.
Modelul matematic Black Scholes
Unde:
▪ c – este pretul unei optiuni call
▪ p – pretul unei optiuni put
▪ s – pretul curent al activului
▪ k – pretul de exercitiu al optiunii
▪ t – numarul de perioade pana la expirarea optiunii
▪ r – rata de dobanda fara risc, capitalizata continuu
▪ N(.) - distributia normala cumulativa standard
Pentru o mai buna intelegere a modelului, acesta este impartit in doua
componente. Prima parte, SN(d1) exprima beneficiul asteptat prin achizitionarea
unui activ. Acesta se obtine prin inmultirea pretului actiunii (S) cu variatia
pretului optiunii in raport cu variatia pretului actiunii( d1). A doua parte a
modelului reprezinta valoarea prezenta a pretului de exercitiu platit la data
expirarii. Valoarea optiunii call este calculata prin scaderea celor doua
valori.
Presupunerile modelului
-
Activul nu plateste dividende pe parcursul vietii optiunii
-
Optiunea este de tip european
-
Pietele sunt eficiente
-
Nu se percep comisioane
-
Rata de dobanda ramane constanta
-
Randamentele au o distributie lognormala
Inca din 1973 modelul s-a bucurat de o popularitate mare. Multi cercetatori
financiari au dezvoltat modelul. In 1973, Robert Merton a eliminat restrictia
privind lipsa dividendelor. In 1976, Jonathan Ingerson a eliminat restrictia
privind lipsa taxelor sau a costurilor de tranzactionare. In 1976, Marton a
extins modelul rate de dobanda variabile. Rezultatele acestei popularitati sunt
modele foarte precise de evaluare pe care le avem astazi.